Ciò che la “nuova matematica” insegna a vostro figlio

I GENITORI si sentono frequentemente perplessi dinanzi alla “nuova matematica”, specialmente quando il loro figlio ottiene il cento per cento per aver scritto che 1 + 1 = 10 o 8 + 6 = 2. Non c’è da meravigliarsi se una madre fu udita esclamare: “Non ci capisco niente!” quando ebbe visto il compito della figlia che frequentava la quinta classe elementare.

Non solo alcuni genitori negli Stati Uniti si sono profondamente turbati vedendo che i loro figli usavano sistemi matematici completamente estranei alla loro esperienza. “Una volta”, scrisse un padre preoccupato, “un ragazzo poteva portare a casa i compiti e i genitori glieli guardavano, facendo correzioni o dando incoraggiamento. Ma oggi i compiti sono così complicati che né il ragazzo né i genitori sanno quello che accade”.

Anche gli insegnanti si son dovuti rieducare. E in alcuni luoghi sono stati stabiliti per i genitori corsi serali di “nuova matematica”. Ma non a tutti piace l’idea di andarvi. Una madre, che aveva ricevuto istruzione universitaria per un biennio, si rifiutò di andarvi. “Sapete come ci si sente inadeguati alla mia età con materie da seconda classe elementare?” chiese. Un altro genitore commentò: “Questa roba sta rovinando la mia relazione con i miei ragazzi. Pensano che io sia stupido!”

Che cos’è la “nuova matematica”? Perché viene insegnata? È davvero migliore del vecchio modo d’insegnare la matematica?

Perché c’è la “nuova matematica”

La persona media pensa senza dubbio che la matematica sia una materia statica, ma è lungi dall’esser tale. Si stima che nei passati sessant’anni circa siano state create più nuove matematiche che non in tutti i precedenti secoli messi insieme. Tuttavia i corsi di matematica cambiarono poco in trecento anni. Un’autorità osservò che un insegnante del diciassettesimo secolo poteva alcuni anni fa entrare in una classe di matematica e cominciare a insegnare senza difficoltà. Ma un insegnante di storia, scienze o lingua non poteva far ciò, poiché il contenuto di questi corsi era cambiato radicalmente. Gli educatori avevano dunque sentito da tempo la necessità di aggiornare i testi di matematica.

Negli Stati Uniti il sostegno pubblico per tali cambiamenti fu provveduto quando la Russia lanciò con successo il suo Sputnik nel 1957. Dopo quella sorprendente impresa spaziale si senti l’urgente bisogno di più e migliori scienziati, e, siccome la scienza si basa sulla matematica, di migliori corsi di matematica. La riforma dell’insegnamento della matematica era già cominciata in limitata misura nelle scuole di istruzione superiore. Ora ebbe maggiore impulso, estendendosi anche alle scuole elementari.

Lo scopo dei corsi di “nuova matematica” è quello di dare ai ragazzi una fiduciosa comprensione della struttura e della relazione dei numeri l’uno rispetto all’altro. Mirano ad aiutare gli studenti a capire il modo in cui i sistemi numerici sono composti e le leggi che ne governano la funzione. Quindi, invece di prescrivere semplicemente regole e di dare enfasi agli esercizi per applicarle, la “nuova matematica” cerca di risalire alle fonti delle regole per mostrarne la validità.

La “nuova matematica” presenta inoltre abbastanza presto ai ragazzi avanzati concetti matematici. Essa mostra la correlazione dei vari rami della matematica, come algebra e geometria, anziché considerarle come soggetti separati.

La “nuova matematica” potrebbe paragonarsi a un corso di arte culinaria in cui si faccia lo sforzo non solo di provvedere la pratica per seguire i passi prescritti di un ingrediente, ma anche d’aiutare lo studente a capire le proprietà dei vari ingredienti e l’effetto che producono quando si combinano con altri ingredienti. Lo studente non solo impara dunque a preparare un particolare piatto, ma anche impara la ragione per cui riesce in quel modo il prodotto finale. Così lo studente è aiutato a ottenere una migliore visione generale dell’arte culinaria, e, si spera, a essere in tal modo un cuoco migliore.

In maniera simile, aiutando i giovani studenti di matematica a vedere la ragione delle regole e presentando loro abbastanza presto i concetti avanzati, si spera che siano meglio preparati a trovare la soluzione dei problemi e a seguire i corsi di matematica superiore.

Composizione dei numeri

Non tutti i corsi di “nuova matematica” sono simili. Ci può essere in loro una considerevole varietà da una classe all’altra. Ma di norma i corsi cercano d’insegnare ai ragazzi perché i numeri si compongono in quel modo. Questo può sembrare abbastanza semplice, ma in realtà è un magistrale progresso di secoli.

Per esempio, se poteste chiedere a qualcuno che non conosce il nostro attuale sistema numerico qual è la differenza se si sottrae 5 a 155, probabilmente direbbe 15. Non vi sorprendete o non lo ritenete ignorante. Poiché considerate: Non sembra realmente che se togliete 5 a 155 resta solo 15?

Dite che la risposta dovrebbe essere 150? Ma dove avete preso lo 0? Perché avete cambiato uno dei 5 in 0? Potrebbe 15 essere realmente la risposta giusta? La “nuova matematica” cerca di rispondere a tali domande basilari così che i ragazzi davvero capiscano e non semplicemente rispondano secondo i dettami delle regole.

Se qui ci fosse un antico Egiziano darebbe probabilmente la risposta 15 al suddetto problema. E senza dubbio affermerebbe con vigore d’aver ragione. Sapete perché? Perché gli Egiziani e altri antichi popoli usavano un diverso sistema numerico. Se sottraevano una cifra (cioè un simbolo che rappresentava un numero) a una serie di cifre, la nuova somma semplicemente era il totale delle cifre rimanenti. La somma non dipendeva dall’ordine in cui erano poste le cifre; le cifre conservavano il loro rispettivo valore qualunque fosse la loro posizione.

Ma questo non avviene oggi, non è vero? Poiché 155 non è uguale a 551. Perché i 5 hanno un valore diverso secondo la posizione che occupano? Perché oggi abbiamo un sistema numerico diverso da quello degli antichi Egiziani, Greci e altri popoli. È un sistema creato molto tempo fa in cui le cifre hanno valori diversi, secondo la posizione che occupano. La “nuova matematica” imprime nella mente dei ragazzi come opera questo sistema del valore della posizione.

Sistema metrico decimale

Il sistema metrico decimale è oggi usato nella maggior parte del mondo. È un sistema che impiega dieci cifre, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. In questo sistema ciascuna posizione ha un valore dieci volte maggiore della posizione alla sua destra. La cifra nella prima posizione rappresenta un numero uguale a se stesso. Quindi la cifra 5 rappresenta il numero 5. Ma se il 5 è un posto a sinistra della prima posizione, esso rappresenta 5 decine, se è due posti a sinistra, 5 centinaia, se è tre posti a sinistra, 5 migliaia, e così via.

Diversi sistemi numerici

Il sistema decimale si chiama sistema numerico a base dieci. Ma si può usare qualsiasi altra cifra come base. I Babilonesi usavano un complesso sistema a base sessanta e i Maya dello Yucatán calcolavano a base venti. Oggi i calcolatori usano il sistema a base due. I corsi di “nuova matematica” fanno conoscere ai ragazzi i diversi sistemi numerici. Lo scopo di ciò è d’aiutarli a capire meglio il noto sistema decimale e l’aritmetica in genere.

Il sistema a base cinque è forse il più facile da imparare, e si può insegnare ai vostri ragazzi che frequentano la quarta e la quinta classe. In questo sistema, che usa solo le cifre 0, 1, 2, 3, 4, ciascuna posizione ha un valore cinque volte maggiore della posizione a destra. Così nel numero 324, la prima cifra rappresenta se stessa, o 4. La seconda cifra, invece di rappresentare 2 decine come nel sistema decimale, rappresenta due cinquine. E la terza cifra, invece di rappresentare 3 centinaia, rappresenta 3 venticinquine. Così 324 nel sistema numerico a base cinque è realmente 89 nel sistema a base dieci!

Ora vedete perché vostro figlio può ottenere il cento per cento per aver scritto 1 + 1 = 10? Nel sistema a base due il risultato di 1 + 1 si può scrivere come 10, perché lo zero è pari a nulla e l’1 che è nella posizione a sinistra dello zero non rappresenta dieci come nel sistema decimale, ma solo due! Il sistema a base due usa solo le due cifre, 0 e 1. E ciascuna posizione ha un valore due volte più grande della posizione a destra. Vedete dunque perché 111 nel sistema numerico a base due è pari a 7 del sistema decimale? E perché 1111 è pari a 15? Potete calcolare a che cosa 1010 del sistema a base due è uguale nel sistema decimale?

“Ma come 8 + 6 = 2?” potete chiedere. “Come può un ragazzo aver ragione dando questa risposta?” È la risposta giusta nel sistema a modulo dodici.

L’aritmetica modulare si usa per descrivere avvenimenti che hanno luogo a cicli regolari. Un ciclo comune che ricorre due volte al giorno in milioni di case è il passaggio delle lancette di un orologio dinanzi a numeri che rappresentano le ore del giorno. Un tipico problema di “nuova matematica” forse per i ragazzi della quinta o della sesta classe è questo: “Se ora sono le otto, che ora sarà fra sei ore?” La risposta, senza tener conto delle ore antimeridiane e pomeridiane, è le due. Così 8 + 6 è effettivamente uguale a 2!

Agli studenti di “nuova matematica” si presentano così concetti che in seguito ritroveranno nelle loro maggiori complessità. L’aritmetica modulare, per esempio, è usata per descrivere le funzioni della dinamo e dei motori a benzina in termini matematici. Impararla è essenziale per il lavoro di alcune persone.

Concetto dell’insieme

A fondamento di molti corsi di “nuova matematica” è il concetto dell’insieme, che si insegna al livello di ogni classe. È un concetto così generalmente prevalente che permea gli scritti avanzati dei matematici, eppure può usarsi per insegnare i princìpi aritmetici ai ragazzi più piccoli.

Per esempio, a un bambino dell’asilo si può mostrare una figura che ha insiemi di 3 uccelli, 2 palloni, 3 mele, 2 ragazzi, 3 biciclette e 4 lecca-lecca, e gli si può chiedere di cerchiare ciascun insieme di 3 oggetti. In questo modo il bambino impara l’idea di un numero come la proprietà comune di questi insiemi. Il bambino può quindi progredire fino ad afferrare l’idea dei numeri espressi con le cifre.

Acquistando conoscenza del modo in cui operano gli insiemi, i fanciulli imparano gli elementi comuni dell’aritmetica, dell’algebra e della geometria. Si spera che questo li prepari a fare uso in seguito delle matematiche più avanzate.

Valutazione della “nuova matematica”

Molti educatori sono entusiasti dei programmi di “nuova matematica”. Essi ritengono che gli studenti imparino molto più in fretta. Il prof. David A. Page, che ha redatto un programma di nuova matematica elementare, asserì: “Ora posso insegnare ai ragazzi della terza e della quarta classe più compiti di matematica in un’ora di quanti non potessi insegnarne alle matricole universitarie in due settimane”.

Ma questo entusiasmo per la “nuova matematica” non è affatto condiviso da tutti. Oltre alle alte lamentele che si odono fare dai confusi genitori, molti insegnanti sono pure perplessi. Il prof. Robert Wirtz, dopo aver visitato più di cento scuole elementari negli Stati Uniti, riferì: “Gli insegnanti che ho trovati sono spaventati. Non capiscono la nuova matematica o perché la debbano insegnare”.

Anche molti matematici sono lungi dall’esser soddisfatti, comprese le persone che lavorano ai nuovi programmi. Essi ritengono che alcuni programmi siano troppo sofisticati, troppo astratti, e che non diano sufficiente enfasi all’applicazione alla vita quotidiana. Uno dei principali pionieri della riforma, Max Beberman, espresse il timore che la moderna matematica possa “produrre una generazione di ragazzi che non siano in grado di fare calcoli aritmetici”.

I programmi di “nuova matematica” hanno dunque le loro manchevolezze. Forse il senso d’urgenza per mettersi al passo con le imprese spaziali sovietiche ha fatto lanciare molti programmi al livello di studenti che hanno attitudine alla matematica, trascurando le necessità educative di altri. Inoltre, la mancanza di insegnanti che abbiano afferrato i nuovi concetti abbastanza bene da insegnarli è stata un’altra manchevolezza. E non da sottovalutare è il modo in cui la “nuova matematica” ha contribuito a creare in molte famiglie il divario delle generazioni, servendo ad allontanare i genitori dai figli. Così, mentre è ovviamente necessario apportare miglioramenti ai precedenti programmi di matematica, è dubbio che questi cambiamenti apportati siano i migliori.