Wat uw kind van de „nieuwe wiskunde” leert
IN ARNHEM is men met de eerste Nederlandse proefschool voor het „wiskobas-project” begonnen. Wiskobas (wiskunde op de basisschool) houdt een vernieuwing van het rekenonderwijs in en richt zich tevens op een wiskundige aanpak van alle vakken.
In de Verenigde Staten, waar de „nieuwe wiskunde” al enige tijd wordt gebruikt, komt het vaak voor dat de ouders haar verwarrend vinden, vooral als hun kind een tien krijgt voor een som als 1 + 1 = 10 of 8 + 6 = 2. Het is geen wonder dat men een moeder, toen zij het huiswerk van haar kind uit de vijfde klas van de lagere school zag, hoorde uitroepen: „Dat gaat mij boven m’n pet!”
Heel wat ouders in de Verenigde Staten raakten totaal van streek toen zij bemerkten dat hun kinderen wiskundige stelsels gebruikten waar zij zelf nog nooit eerder mee te maken hadden gehad. „In vroeger dagen”, zo schreef een verontruste vader, „kon een kind huiswerk meenemen en dan gingen zijn ouders het met hem doornemen, verbeteringen aanbrengen of aanmoedigingen geven. Maar tegenwoordig is het huiswerk zo ingewikkeld dat noch het kind, noch zijn ouders weten wat er aan de hand is.”
Zelfs leerkrachten moesten opnieuw opgeleid worden. Op sommige plaatsen zijn er voor ouders avondcursussen in de „nieuwe wiskunde” georganiseerd. Maar niet iedereen voelt er iets voor om ernaar toe te gaan. Een moeder die twee jaar een universitaire opleiding had gehad, weigerde erheen te gaan. „Weet u wat het op mijn leeftijd betekent je minder bekwaam te voelen dan jongelui uit de tweede klas?” vroeg zij. Een andere ouder klaagde: „Deze onzin ruïneert mijn verhouding tot mijn kinderen. Zij denken dat ik achterlijk ben!”
Wat is de „nieuwe wiskunde”? Waarom wordt ze onderwezen? Is ze werkelijk beter dan de oude methode van wiskundeonderwijs?
Waarom de „nieuwe wiskunde”
De gemiddelde mens denkt zonder twijfel dat wiskunde een statisch leervak is, maar dat is helemaal niet het geval. Men schat dat er in de afgelopen circa zestig jaar meer nieuwe wiskundige stelsels zijn geschapen dan in alle vorige eeuwen bij elkaar. Toch is de inhoud van de wiskundelessen in driehonderd jaar weinig veranderd. Een autoriteit op dit gebied merkte op dat een zeventiende-eeuwse leraar enkele jaren geleden een wiskundeklas had kunnen binnenlopen en zonder moeite met lesgeven had kunnen beginnen. Maar een geschiedenis-, natuurkunde- of taalleraar had dit niet kunnen doen, aangezien de inhoud van deze lessen radicaal veranderd is. Daarom hebben degenen die zich met het onderwijs bezighouden, al lang de noodzaak gevoeld van een modernisering van de leergangen in wiskunde.
In de Verenigde Staten kwam er een openbare ondersteuning voor dergelijke veranderingen toen Rusland in 1957 met succes zijn Spoetnik lanceerde. Na dit opzienbarende ruimtevaartsucces werd er een dringende behoefte gevoeld aan meer en betere geleerden en, aangezien natuurkunde op wiskunde is gebaseerd, aan beter wiskundeonderwijs. Tot op zekere hoogte was men op hogere wetenschappelijke academies al met hervorming van het wiskundeonderwijs begonnen. Nu deze hervorming zich echter ook van boven af tot op de lagere school voortzette, begon er werkelijk schot in te komen.
Het doel van het onderwijs in de „nieuwe wiskunde” is, de kinderen een begrip te geven van en vertrouwd te doen raken met de structuur en de verhouding van de getallen ten opzichte van elkaar. Men tracht hierdoor de leerlingen te helpen inzien op welke wijze talstelsels zijn opgebouwd en door welke wetten het gedrag ervan wordt beheerst. Dus in plaats van eenvoudig regels voor te schrijven en er de nadruk op te leggen ze door voortdurend oefenen te leren toepassen, tracht de „nieuwe wiskunde” tot de bronnen van de regels terug te gaan om aan te tonen dat ze deugdelijk zijn.
De „nieuwe wiskunde” introduceert de leerlingen al vroeg in vergevorderde wiskundige begrippen. Ze toont veeleer het onderlinge verband aan tussen de verschillende takken van de wiskunde, zoals algebra en meetkunde, dan ze te beschouwen als afzonderlijke onderwerpen.
De „nieuwe wiskunde” zou vergeleken kunnen worden met een kookles, waarin pogingen worden gedaan niet alleen voor de toepassing te zorgen door de voorgeschreven stappen van een recept te volgen, maar waarin ook wordt getracht de student te helpen inzicht te krijgen in de eigenschappen van de ingrediënten en in de resultaten die ermee bereikt kunnen worden in combinatie met andere ingrediënten. Op deze wijze leert de student niet alleen hoe een bepaald gerecht bereid wordt, maar hij leert ook waarom het eindprodukt nu juist zo wordt. Op deze wijze wordt de student geholpen een beter overzicht te verkrijgen over het bereiden van voedsel en zal hij dus hopelijk een betere kok worden.
Men hoopt dat als men op dezelfde wijze de jongeren die wiskunde studeren de reden voor de regels helpt inzien en hen al vroeg met gevorderde begrippen in aanraking brengt, zij beter toegerust zullen worden om de oplossing van vraagstukken uit te werken en cursussen in hogere wiskunde te gaan volgen.
Het samenstellen van getallen
Niet alle „nieuwe wiskunde”-cursussen zijn gelijk. In de Verenigde Staten zijn er tussen de ene school en de andere soms aanzienlijke verschillen. Maar in de regel wordt er in de leerplannen beoogd de kinderen te leren waarom getallen nu juist zó samengesteld worden. Dit kan misschien eenvoudig genoeg lijken, maar in werkelijkheid is het een kunstmatige ontwikkeling die eeuwen in beslag heeft genomen.
Stel bijvoorbeeld dat u iemand die niet op de hoogte is met ons hedendaags talstelsel, zou vragen wat er van 155 zou overblijven als men er 5 afneemt, dan zou hij waarschijnlijk 15 zeggen. Wees niet verrast of denk niet dat hij dom is. Want gaat u maar na: lijkt het niet werkelijk zo dat als u van 155 er 5 afneemt, er slechts 15 overblijft?
Zegt u dat het antwoord 150 moet zijn? Waar haalt u echter de 0 vandaan? Waarom verandert u een van de vijven in een 0? Zou 15 in werkelijkheid niet het juiste antwoord kunnen zijn? De „nieuwe wiskunde” tracht dergelijke basisvragen te beantwoorden, zodat kinderen het werkelijk begrijpen en niet eenvoudigweg antwoord geven overeenkomstig voorgeschreven regels.
Als een Egyptenaar uit de oudheid hier was, zou hij waarschijnlijk op bovenstaand vraagstuk 15 als antwoord geven. En zonder twijfel zou hij krachtig volhouden dat hij gelijk had. Weet u waarom? Omdat Egyptenaren en andere volken uit de oudheid een ander talstelsel hadden. Als zij één cijfer (dat wil zeggen: een symbool dat een getal aanduidt) van een serie cijfers afnamen, dan was de nieuwe waarde van het getal eenvoudig de som van de overgebleven cijfers. Het totaal was niet afhankelijk van de volgorde waarin de getallen geplaatst waren; de cijfers behielden hun respectieve waarden, wat hun plaats ook was.
Maar zo is het tegenwoordig niet. Want 155 is niet hetzelfde als 551. Waarom hebben de 5-en een verschillende waarde die afhankelijk is van hun plaats? De reden is dat wij tegenwoordig een talstelsel hebben dat verschilt van dat van de Egyptenaren, Grieken en andere volken uit de oudheid. Het is een stelsel dat lang geleden is ontwikkeld en waarbij de cijfers naargelang van hun plaats verschillende waarden hebben. De „nieuwe wiskunde” prent de kinderen in hoe dit plaatswaardestelsel werkt.
Decimaal talstelsel
Tegenwoordig wordt het decimaal (of tientallig) stelsel in de meeste delen der wereld gebruikt. Het is een stelsel dat van tien cijfers gebruik maakt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bij dit stelsel heeft iedere plaats een waarde die tien maal zo groot is als de plaats rechts daarvan. Het cijfer dat in de eerste, meest rechtse, kolom staat, vertegenwoordigt een getal dat aan zichzelf gelijk is. Dus het cijfer 5 vertegenwoordigt op die meest rechtse plaats het getal 5. Maar als het cijfer 5 één plaats meer naar links, naast het eerste cijfer, staat, vertegenwoordigt het 5 tientallen, indien het twee plaatsen naar links staat, 5 honderdtallen, drie plaatsen naar links, 5 duizendtallen, enzovoort.
Met behulp van de „nieuwe wiskunde” tracht men de kinderen de waarde van de cijfers overeenkomstig hun plaats te demonstreren. Zo zouden leerlingen als volgt kunnen leren optellen:
5555 = 5000 + 500 + 50 + 5
2222 = 2000 + 200 + 20 + 2
7000 + 700 + 70 + 7 = 7777
En zij zouden bijvoorbeeld als volgt kunnen leren aftrekken:
346 = 300 + 40 + 6 = 300 + 30 + 16
239 = 200 + 30 + 9 = 200 + 30 + 9
100 + 00 + 7 = 107
Verschillende talstelsels
Het decimaal stelsel wordt een tientallig stelsel genoemd. Maar elk ander grondtal kan worden gebruikt. De Babyloniërs gebruikten een ingewikkeld zestigtallig stelsel en de Maya’s uit Yucatan rekenden twintigtallig. De hedendaagse computers gebruiken het tweetallig of binair stelsel. „Nieuwe wiskunde”-cursussen maken jonge kinderen vertrouwd met verscheidene talstelsels. Het doel daarvan is, hen te helpen een beter begrip te krijgen van het bekende decimaal stelsel en van rekenkunde in het algemeen.
Het vijftallig stelsel is misschien het gemakkelijkst te leren en het zou onderwezen kunnen worden aan uw vierde- of vijfdeklasser. In dit systeem, dat alleen de getallen 0, 1, 2, 3, 4 gebruikt, heeft iedere plaats een waarde die vijf maal zo groot is als de plaats rechts daarvan. Op deze wijze zal in het getal 324 het eerste cijfer rechts zichzelf vertegenwoordigen, dus 4. Het tweede cijfer zal, in plaats van 2 tientallen, zoals in het decimaal stelsel, 2 vijftallen vertegenwoordigen. En het derde cijfer zal in plaats van 3 honderdtallen, 3 vijfentwintigtallen vertegenwoordigen. Dus 324 in het vijftallig stelsel is in werkelijkheid 89 in het tientallig stelsel!
Ditzelfde patroon wordt in elk talstelsel gevolgd. Zo heeft in het zestallig stelsel iedere plaats een waarde die zes maal zo groot is als de plaats rechts ervan. En in het achttallig stelsel heeft iedere plaats een waarde die acht maal zo groot is als de plaats rechts. Merk op, welke waarde het getal 324 heeft in de talstelsels hieronder, vergeleken met de waarde ervan in het decimaal stelsel.
324 in het vijftallig stelsel = 75 + 10 + 4 of 89
324 in het zestallig stelsel = 108 + 12 + 4 of 124
324 in het achttallig stelsel = 192 + 16 + 4 of 212
Ziet u nu waarom uw kind een 10 kan krijgen als het schrijft dat 1 + 1 = 10? Bij het tweetallig stelsel of binair talstelsel kan het resultaat van 1 + 1 geschreven worden als 10, omdat de 0 gelijk is aan niets en de 1 die een plaats naar links van de 0 staat geen 10, zoals in het decimaal stelsel, maar slechts twee vertegenwoordigt! Het binair talstelsel gebruikt slechts twee cijfers, 0 en 1. En elke plaats heeft een waarde die tweemaal zo groot is als de plaats rechts daarvan. Ziet u nu waarom 111 in het binair stelsel gelijk is aan 7 van het decimaal stelsel? En waarom 1111 gelijk is aan 15? Kunt u uitrekenen aan welk getal 1010 in het binair talstelsel gelijk is in het decimaal stelsel?
„Maar hoe kan 8 + 6 = 2 zijn?” zult u misschien vragen. „Hoe kan een kind het nu goed hebben als het dit antwoord geeft?” Het is het juiste antwoord in het systeem der restklassen modulo twaalf.
Modulaire rekenkunde wordt gebruikt om gebeurtenissen te beschrijven die in regelmatige cyclussen voorkomen. Een bekende cyclus die tweemaal per dag in miljoenen huizen voorkomt, is het gaan van de wijzers van een klok langs de cijfers die de uren van de dag aangeven. Een typisch „nieuwe wiskunde”-vraagstukje voor kinderen van de eerste klassen van het basisonderwijs is: „Als het nu acht uur is, hoe laat zal het dan over zes uur zijn?” Het antwoord zal — met veronachtzaming van voormiddag of namiddag — twee uur zijn. Dus 8 + 6 is gelijk aan 2!
Leerlingen in de „nieuwe wiskunde” worden op deze wijze ingeleid in begrippen die zij later in veel ingewikkelder vorm zullen ontmoeten. Modulaire rekenkunde wordt bijvoorbeeld gebruikt om de werking van elektrische generatoren en benzinemotoren in rekenkundige termen te beschrijven. Voor het werk van sommige mensen is het een noodzakelijk vereiste dat zij deze zaken meester zijn.
De verzamelingsleer
In het centrum van veel „nieuwe wiskunde”-lessen staat de verzamelingsleer, die aan leerlingen van elk ontwikkelingsniveau onderwezen wordt. Het is een zo alles overheersend begrip dat het doordringt in de gevorderde geschriften van rekenkundigen en toch ook gebruikt kan worden om rekenkundige beginselen aan de jongste kinderen te onderwijzen.
Zo kan men bijvoorbeeld aan een kind van de fröbelschool een plaat laten zien waarop verzamelingen van 3 vogels, 2 ballons, 3 appels, 2 jongens, 3 fietsen en 4 lollies voorkomen, en dan vragen een cirkel te trekken om elke verzameling waarin zich 3 voorwerpen bevinden. Op deze manier went het kind aan de gedachte dat een getal de gemeenschappelijke eigenschap van een aantal verzamelingen is, en het kind zal dan al een heel eind op weg zijn om te begrijpen dat aantallen in cijfers uitgedrukt kunnen worden.
Door vertrouwd te raken met de wijze waarop de verzamelingsleer werkt, leren kinderen beginselen die aan rekenkunde, algebra en meetkunde eigen zijn. Men hoopt dat dit hen erop zal voorbereiden later de meer gevorderde wiskunde te verwerken.
Waardering voor „nieuwe wiskunde”
Veel opvoeders en onderwijzers zijn enthousiast over de „nieuwe wiskunde”-programma’s. Zij zijn van mening dat de leerlingen veel sneller leren. Professor D. A. Page, die een nieuw elementair wiskundeprogramma uitgaf, verklaarde: „Ik kan derde- of vierdeklassers nu in één uur meer over wiskundige functies leren dan ik eerstejaarsstudenten gewoonlijk in twee weken kon bijbrengen.”
Dit enthousiasme voor „nieuwe wiskunde” wordt echter lang niet door iedereen gedeeld. Behalve dat verbijsterde ouders hun klachten niet onder stoelen of banken steken, zijn ook veel onderwijzers danig van hun stuk gebracht. Na een bezoek aan meer dan honderd Amerikaanse basisscholen deelde professor R. Wirtz mee: „Ik heb bemerkt dat de onderwijzers verschrikt zijn. Zij begrijpen de ’nieuwe wiskunde’ niet en evenmin waarom zij dit zouden moeten onderwijzen.”
Ook veel wiskundigen, met inbegrip van mensen die aan nieuwe programma’s gewerkt hebben, zijn allesbehalve tevreden. Zij zijn van mening dat sommige leerprogramma’s te onnatuurlijk zijn, te abstract, en dat ze niet voldoende nadruk leggen op de toepassing in het dagelijks leven. M. Beberman, een van de leidinggevende pioniers van de vernieuwing, bracht de vrees tot uitdrukking dat moderne wiskunde wellicht „een generatie van kinderen doet opgroeien die in het vak rekenkunde het rekenen zelf verleerd zijn”.
Leerprogramma’s voor de „nieuwe wiskunde” hebben dus stellig hun tekortkomingen. Misschien was in de Verenigde Staten de mening dat het dringend noodzakelijk was gelijke tred te houden met de Russische ruimtesuccessen er de oorzaak van dat er heel wat leerprogramma’s werden opgesteld die aangepast waren aan het niveau van studenten met aanleg voor wiskunde, terwijl men geen rekening hield met de behoeften op onderwijsgebied van anderen. Een andere tekortkoming was het gebrek aan leerkrachten die de nieuwe begrippen goed genoeg door hadden om ze te onderwijzen. Ook moet de wijze waarop de „nieuwe wiskunde” in veel huisgezinnen tot de generatiekloof heeft bijgedragen en ervoor heeft gezorgd dat ouders en kinderen van elkaar vervreemden, niet worden onderschat. Terwijl er dus kennelijk verbetering in de vroegere wiskundige programma’s nodig was, is het evenwel de vraag of de veranderingen die men heeft aangebracht allemaal wel zo goed zijn geweest.
Ten einde de tekortkomingen als gevolg van onvoldoende opleiding van de leerkrachten in de „nieuwe wiskunde” te vermijden, is in Nederland het universitair instituut voor de ontwikkeling van het wiskundeonderwijs te Utrecht bezig aan de voorbereiding van een nationaal leerplan. Men richt zich in de eerste plaats op de onderwijzers en begeleidt hen bij een uitgebreide her-oriëntering. Pas daarna zal met de leerkrachten die in proefklassen ervaring opgedaan hebben een leerplan ontwikkeld worden. Dit plan en de daarbij behorende voorlichting wil men fasegewijs verwezenlijken, in een tijdsbestek van enige jaren. De eerste fase is de „wiskobas”-proef te Arnhem.