Wie wahrscheinlich ist der Zufall?

EINE Hecktür des riesigen Düsenklippers platzt während des Fluges auf unerklärliche Weise auf, der Luftdruck im Passagierraum fällt, und 300 Menschen kommen um, während das Flugzeug als brennendes Wrack zur Erde stürzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß du in diesem Flugzeug gewesen sein könntest?

Oder nehmen wir an, du hast den ganzen Abend Bridge gespielt, ohne daß du Pik-As bekommen hast. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß du diese Karte beim nächsten Spiel erhältst?

Ein Student sitzt im Hörsaal einer Universität und hört, wie ein Professor sagt: „Nach dem Gesetz der Wahrscheinlichkeit mußte die Evolution stattfinden ...“ Doch der Student fragt sich: „Fand sie wirklich statt?“

Zufall — wie oft gebrauchen wir dieses Wort und meinen nichts anderes als das Eintreten oder Zusammentreffen von Ereignissen, das nach menschlicher Voraussicht nicht zu erwarten war! Und das ist auch die richtige Anwendung dieses Wortes. Doch wie diese Beispiele zeigen, versucht man oft, Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse zu ermitteln und somit den Zufall mit der Wahrscheinlichkeit in Verbindung zu bringen. Das bringt uns zu dem Thema der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dieses Thema ist nicht nur etwas für Mathematiker, obwohl sie an den Kniffligkeiten mehr Spaß haben als andere.

Eine Münze und die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Um die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu verstehen, wollen wir uns zunächst mit einigen grundlegenden Tatsachen befassen.

Wirf einmal eine Münze hoch. Was wird oben liegen, wenn sie auf den Boden gefallen ist? Kopf oder Zahl? Keiner kann das mit absoluter Sicherheit vorhersagen. Wirf die Münze zehnmal. Wie oft wird die Zahl oben liegen? Auch das kann keiner vorhersehen.

Aber nehmen wir nur einmal an, du würdest dir die Zeit nehmen und die Münze zweimillionenmal hochwerfen. Wie oft wird dann die Zahl oben liegen? Ungefähr einmillionenmal. Ja, aus Gründen, die kein Mensch völlig erklären kann, wird schließlich die Hälfte aller Male die Zahl oben liegen.

Wenn du es nur ein paarmal versuchst, kannst du nicht mit Sicherheit wissen, ob Kopf oder Zahl oben liegen wird. Wenn du zehnmal wirfst, mag es siebenmal Zahl sein. Aber bei den nächsten zehn Würfen mag es siebenmal Kopf sein. Je öfter die Münze geworfen wird, desto näher wird man dem natürlichen Durchschnitt von 50 Prozent Kopf und 50 Prozent Zahl kommen. Das ist das sogenannte „Gesetz der großen Zahl“.

Aber die Wahrscheinlichkeit, daß die Münze bei einem einzigen Wurf mit der Zahl oben liegt, ist eins zu zwei. Beim zweiten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Wurf genau die gleiche, nämlich eins zu zwei. Jedesmal, wenn du die Münze wirfst, sind die Chancen für diesen einen Wurf genau gleich. Die Münze hat nämlich kein Gedächtnis. Aber nehmen wir an, jemand möchte, daß dreimal hintereinander die Zahl oben liegt. Wie stehen die Chancen?

Du brauchst jetzt bloß die Chancen, die bei jedem einzelnen Wurf dafür bestehen, daß die Zahl oben liegt, miteinander zu multiplizieren. Für einen Wurf ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl oben liegt, eins zu zwei oder 1:2. Für zwei Würfe stehen die Chancen somit 1:2 × 1:2, das heißt 1:4. Bei drei Würfen stehen die Chancen 1:2 × 1:2 × 1:2, das heißt 1:8 usw. Auch in anderer Hinsicht wirken sich diese grundlegenden mathematischen Gesetze auf dein Leben aus.

Wahrscheinlichkeit beim Glücksspiel, im Versicherungswesen und beim Flugverkehr

Wer ein grundlegendes Wissen über das Gesetz der großen Zahl hat, wird davor bewahrt, so leichtsinnig zu sein und zu glauben, er könne beim Glücksspiel wirklich gewinnen. Auf lange Sicht gesehen, kann man nämlich nicht gewinnen.

Versetzen wir uns in ein Spielkasino. Vor dir steht ein Roulett, eine Drehscheibe, die in eine Anzahl abwechselnd rot und schwarz gefärbter Fächer zerfällt. Die Fächer sind numeriert, nämlich 1 bis 36; außerdem gibt es eine weiße Null (0) und eine Doppelnull (00). Wer auf eine Zahl setzt und gewinnt, erhält von der Spielbank das Fünfunddreißigfache des Einsatzes. Aber die Wahrscheinlichkeitsrechnung zeigt, daß die Chancen dafür sehr schlecht stehen.

Um das zu verstehen, stell dir vor, man würde auf jede der 38 Zahlen 1 Mark setzen. Nur eine Zahl kann gewinnen, und so wirst du für deine 38 Mark 35 Mark zurückerhalten und dazu die Mark, die du auf die Gewinnzahl gesetzt hast. Der Rest, 2 Mark — das sind über fünf Prozent —, ist der Verdienst der Spielbank. Das ist der Grund, weshalb sie im Geschäft bleiben, ihre Angestellten bezahlen und sich die luxuriöse Ausstattung leisten kann. Es kann zwar vorkommen, daß ein Kunde eine Glückssträhne hat und an einem Abend mehrere tausend Mark gewinnt. Diese Glückssträhne mag zwei, drei oder vier Abende anhalten. Aber die Spielbank weiß, daß sie letzten Endes gewinnen muß. Die Gesetze der Wahrscheinlichkeit sprechen der Spielbank mehr als fünf Prozent Gewinn zu. Nein, auf lange Sicht gesehen, kannst du wirklich nicht gewinnen.

Das Gesetz der großen Zahl hilft auch Versicherungsgesellschaften, die Prämien festzusetzen. Ein Kunde bezahlt regelmäßig eine verhältnismäßig niedrige Summe an die Gesellschaft, und sie zahlt dem Kunden in einem Notfall einen gewissen Betrag. Die Versicherungsgesellschaften wissen aus Erfahrung, daß sie nicht alle Kunden auszuzahlen brauchen. Wieso können sie so sicher sein?

Lebensversicherungsgesellschaften ermitteln zum Beispiel die Sterbeziffer unter Tausenden von Menschen und stellen fest, wieviel Prozent jeder Altersgruppe jährlich sterben. Dieser Erfahrungswert ist die Grundlage zur Festsetzung der Prämien, die jede Gruppe für ihre Versicherung zahlt; wie die unterschiedlichen Prämien zeigen, muß im Laufe der Jahre nur ein bestimmter Prozentsatz Versicherungsnehmer ausgezahlt werden.

Wenn jedoch jemand eine besondere Versicherung wünscht, zum Beispiel, wenn eine Tänzerin ihre Beine versichern lassen möchte, dann sind die Prämien viel höher. Warum? Weil es nur wenige solche Fälle gibt; das Gesetz der großen Zahl trifft nur eingeschränkt zu. Das Risiko ist für die Versicherungsgesellschaft größer. Hier verhält es sich wieder wie mit dem Werfen einer Münze. Wenn die Versicherungsgesellschaft gewissermaßen die Münze tausendmal wirft, stehen die Chancen zu ihren Gunsten. Doch bei einem Wurf ist das Risiko viel größer. Deshalb sind die Versicherungsprämien in einem solchen Fall viel höher.

Damit soll nicht gesagt werden, daß Versicherung und Glücksspiel das gleiche sind; vielmehr treffen auf beide Fälle die gleichen Gesetze zu. Beim Glücksspiel magst du gewinnen, ob du das Geld brauchst oder nicht. Aber bei der Versicherung „gewinnst“ du nur, um einen Verlust zu decken.

Für den durchschnittlichen Spieler ist die Chance gewöhnlich nichts als blinder Zufall. Er weiß vielleicht gar nichts über das Gesetz der großen Zahl, aber er hofft im Ernst, daß sich irgendwie die richtige Kombination ausgerechnet dann ergibt, wenn er spielt.

Wenn du über die Gesetze der Wahrscheinlichkeit genau Bescheid weißt, kannst du übrigens auch ganz erleichtert in ein Flugzeug steigen. In den Vereinigten Staaten wurden im Jahre 1973 über 4 500 000 kommerzielle Flüge mit US-Flugzeugen verzeichnet. Und es gab drei Abstürze mit Todesfolgen. Das bedeutet, daß ein Absturz auf 1 500 000 Flüge kam. Jedesmal, wenn jemand an Bord eines Flugzeuges stieg, standen die Chancen 1 zu 1 500 000, daß das Flugzeug abstürzen würde und Passagiere dabei ums Leben kämen.

Jemand mag nun sorgfältig nachrechnen und zu dem Ergebnis kommen, daß der erste der drei Abstürze nach eineinhalb Millionen erfolgreichen Flügen eintreten würde oder, in anderen Worten, nach etwa vier Monaten. Also wird er diesen Flug vermeiden. In Wirklichkeit aber ereigneten sich alle drei Abstürze des Jahres 1973 innerhalb von neun Tagen im Monat Juli.

Nun, nehmen wir an, die Ziffer der Abstürze mit Todesfolgen würde gleichbleiben. Keiner kann sagen, wann sich die Abstürze ereignen werden. Werden an einem Tag zwölf Flugzeuge abstürzen und in den nächsten vier Jahren keine? Wer kann das sagen?

Du kannst also ganz beruhigt in ein Flugzeug steigen; denn eines ist sicher: Es gibt kein fatalistisches „Gesetz der Durchschnitte“, das nur darauf wartet zuzuschlagen.

Wie wahrscheinlich ist die Evolution?

Wenn wir das Prinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen, erkennen wir auch, daß es ein Trugschluß ist, zu glauben, die Wahrscheinlichkeit spreche dafür, daß das Leben durch Zufall entstanden sei und sich zu den heutigen Lebensformen entwickelt habe.

Es könnte jedoch eingewendet werden: Wenn alle chemischen Bestandteile, die zur zufälligen Entstehung einer Lebensform nötig sind, in einem großen Zeitraum genügend oft gemischt würden, würde dann nicht schließlich diese Lebensform entstehen? Nun, zunächst muß jemand oder etwas dasein, um zu mischen. Doch übersehen wir jetzt einmal diese notwendige Voraussetzung, und überlegen wir uns folgendes: In einer Zelle spielen sich Tausende von molekularen und chemischen Vorgängen ab. Und im menschlichen Körper gibt es Billionen Zellen, von denen einige ganz spezialisierte Aufgaben erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese komplizierten Funktionen der Zellen durch wahlloses Mischen in Gang gesetzt wurden und durch eine Entwicklung zustande kamen, ist unglaublich gering.

Als Veranschaulichung diene ein Satz Spielkarten.

Nehmen wir an, du spielst Bridge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß du von den 52 Karten alle 13 Pikkarten erhältst? Die Chancen, daß die erste Karte, die du ziehst, eine Pikkarte ist, stehen 13:52. Von den 51 übriggebliebenen Karten sind 12 Pikkarten, und so stehen die Chancen jetzt 12:51. Und so geht es dann weiter — 11:50, 10:49 —, bis die Chancen für die letzte Karte 1:40 stehen. Multipliziere all diese Brüche miteinander, und du wirst feststellen, daß die Chancen, alle 13 Pikkarten ausgehändigt zu bekommen, 1 zu über 635 000 000 000 stehen.

Und denke daran: Wir haben es hier mit nur 52 Spielkarten zu tun.

Außerdem haben wir nicht erwartet, die Pikkarten in der richtigen zahlenmäßigen Reihenfolge zu bekommen. Durch diese Voraussetzung würden die Chancen um ein Vielfaches geringer werden. Ja, die Chancen stehen dann für die erste Karte 1:52 und nicht 13:52. Wenn du beim erstenmal die richtige Karte erhältst, dann stehen die Chancen für die nächste Karte nicht 12:51, sondern 1:51; bei der nächsten 1:50 (nicht 11:50) usw. Die Wahrscheinlichkeit, alle Pikkarten in der richtigen Reihenfolge zu ziehen, ergibt sich aus dem Produkt all dieser Zahlen: 1:52 × 1:51 × 1:50 × 1:49 × 1:48 × 1:47 × 1:46 × 1:45 × 1:44 × 1:43 × 1:42 × 1:41 × 1:40. Und was ergibt das?

Ungefähr 1:4 000 000 000 000 000 000 000.

So groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß lediglich dreizehn Bestandteile in der richtigen Reihenfolge vorhanden sind. Und vergiß nicht, daß jeder Bestandteil bereits vorhanden ist und dazu noch in der richtigen Menge. Mit anderen Worten: Die Spielkarten sind schon da, bevor wir anfangen.

Noch etwas: Damit sich höhere Lebensformen fortpflanzen können, sind zwei Geschlechter erforderlich. Somit müßte sich der gleiche Vorgang zweimal ereignen, nicht einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß du aus dem Kartenspiel zweimal hintereinander dreizehn Pikkarten in der richtigen Reihenfolge ziehst? Um das herauszufinden, müßten wir die obengenannte Zahl nicht nur verdoppeln, sondern quadrieren, das heißt mit sich selbst multiplizieren. Das Ergebnis wäre 1 zu 16 mal 10⁴² (eine 16 mit zweiundvierzig Nullen).

Bei einem Menschenpaar spielen natürlich viel, viel mehr Vorgänge eine Rolle als ein bloßes Mischen von dreizehn Bestandteilen. Aber zeigt das nicht ganz anschaulich, wie unwahrscheinlich es ist, daß das Leben zufällig begann und daß sich danach alle Lebensformen entwickelt haben?

Die Chancen sind tatsächlich so gering, daß sogar erklärte Evolutionisten zugeben, es sei nahezu unmöglich, daran zu glauben. Julian Huxley erklärt diesbezüglich: „Eine kleine Rechnung zeigt, wie unglaublich unwahrscheinlich die Resultate der natürlichen Auslese sind, selbst wenn man genügend Zeit einräumt.“ Er fragt dann, wie groß die Chancen sind, daß das Pferd ein Produkt des Zufalls ist. Als Antwort sagt Huxley: „Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Anzahl günstiger Mutationen allein durch reinen Zufall aufeinanderfolgen, ist phantastisch gering.“ Darauf fügte er hinzu: „Tausend hoch 1 Million [1 000^{1 000 000}] ist, wenn ausgeschrieben, die Zahl 1 mit drei Millionen Nullen; um diese Zahl zu drucken, wären drei dicke Bände von je 500 Seiten erforderlich. Das ist eine unsinnig große Zahl, aber sie zeigt den Grad der Unwahrscheinlichkeit für die natürliche Auslese ... Eine Eins mit drei Millionen Nullen — das ist der Grad der Unwahrscheinlichkeit, daß sich das Pferd entwickelt hat; es spricht also alles dagegen, daß diese Entwicklung überhaupt stattgefunden hat. Keiner würde auf ein solch unwahrscheinliches Geschehnis wetten.“

Und trotzdem macht Huxley jetzt eine Kehrtwendung und sagt ungläubig: „Und doch ist es geschehen.“ Wie konsequent erscheint dir das? Wenn jemand an solche Zufälle glauben möchte, dann ist das seine eigene törichte Entscheidung. Aber er kann nicht ehrlichen Gewissens sagen, daß die Beweise auf seiner Seite sind.

Oder weist die „Wahrscheinlichkeit“ auf einen Schöpfer hin?

Hast du nicht beobachtet, daß Leben immer von anderem Leben stammt? Gewiß. Du weißt daher aus eigener Erfahrung, daß die Wahrscheinlichkeit dafür spricht, daß das Leben auf Erden von einem lebendigen Schöpfer erschaffen wurde. Die ganze Idee der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestätigt diese Beobachtung. Wieso?

Weil die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Gesetzmäßigkeit erkennen läßt. Die Gesetze der Wahrscheinlichkeit, die wir nur teilweise untersucht haben, sind die Grundlage praktisch allen wissenschaftlichen Denkens. Die Menschen vertrauen diesen unbelebten Gesetzen. Diese Gesetze sind so konstant, daß Wissenschaftler sagen, wir könnten ihnen „Glauben“ schenken. Sollen wir nun glauben, daß solche Gesetze rein zufällig bestehen? Hat nicht jedes Gesetz auch einen Gesetzgeber? Gewiß spricht alles für einen Schöpfer, der diese mathematischen Gesetze entworfen hat. Und genauso unveränderlich, wie diese Gesetze und andere Naturgesetze sind, so unveränderlich muß auch der Schöpfer sein.

Es ist wirklich ein Vergnügen, die präzise Funktion der Gesetze wie zum Beispiel der Gesetze in Verbindung mit der Wahrscheinlichkeit zu verstehen. Aber ein wirklich scharfsichtiger Mensch gibt sich damit noch nicht zu frieden. Er möchte den kennenlernen, der diese Gesetze gemacht hat. Diese Erfahrung kann unendlich mehr Freude bereiten.

[Bild auf Seite 23]

Die Zahl, die die Wahrscheinlichkeit angibt, daß sich das Pferd durch Zufall entwickelt hat, würde drei dicke Bücher füllen. Würdest du auf etwas so Unwahrscheinliches bauen?