Der neue Mathematikunterricht in den USA
VIELE Eltern finden den neuen Mathematikunterricht verwirrend, insbesondere wenn ihr Kind alles richtig hat, obschon es 1 + 1 = 10 oder 8 + 6 = 2 geschrieben hat. Kein Wunder, daß eine Mutter ausrief: „Da komme ich nicht mehr mit!“, als sie die Hausaufgaben ihres Kindes, das in die fünfte Klasse ging, durchsah.
Nicht wenige Eltern in den Vereinigten Staaten sind beunruhigt darüber, daß ihre Kinder mathematische Systeme benutzen, die ihnen völlig fremd sind. Besorgt schrieb ein Vater: „Früher konnten die Kinder mit ihren Hausaufgaben zu den Eltern gehen, und diese konnten zusammen mit den Kindern die Aufgaben durchgehen und Verbesserungen anbringen oder die Kinder loben. Aber heute sind die Hausaufgaben so kompliziert, daß weder die Kinder noch die Eltern sie verstehen.“
Selbst Lehrer mußten umgeschult werden. Und an einigen Orten werden für Eltern Abendkurse für neue Mathematik eingerichtet. Aber nicht allen Eltern sagt der Gedanke zu, solche Kurse zu besuchen. Eine Mutter, die zwei Jahre an der Universität studiert hatte, war zum Beispiel nicht bereit dazu. Sie fragte: „Wissen Sie, wie es ist, wenn man in meinem Alter das Gefühl haben muß, nicht einmal das, was ein Schüler der zweiten Klasse lernt, zu beherrschen?“ Eine andere Mutter klagte: „Diese neue Lehrmethode zerstört das Verhältnis zwischen mir und meinen Kindern. Sie halten mich für dumm!“
Worum handelt es sich bei diesem neuen Mathematikunterricht? Warum wird diese neue Mathematik gelehrt? Sind diese Methoden wirklich besser als die alten?
Warum die neue Mathematik
Die Durchschnittsperson hält Mathematik ohne Zweifel für ein unveränderliches Fach, aber das ist sie bei weitem nicht. Man schätzt, daß in den vergangenen sechzig Jahren mehr neue mathematische Systeme geschaffen worden sind als in allen vorangegangenen Jahrhunderten zusammen. Doch der Mathematikunterricht hat sich im Laufe der vergangenen dreihundert Jahre wenig verändert. Ein Experte sagte, noch bis vor wenigen Jahren hätte ein Lehrer, der im siebzehnten Jahrhundert unterwiesen hätte, ohne weiteres ein Klassenzimmer betreten und in Mathematik unterweisen können. Aber ein Geschichtslehrer, ein Physiklehrer oder ein Sprachlehrer aus jener Zeit hätte das nicht tun können, denn der Unterrichtsstoff in diesen Fächern hat sich gründlich gewandelt. Die Erzieher sind daher schon lange der Meinung gewesen, der Mathematikunterricht sollte auch modernisiert werden.
In den Vereinigten Staaten wurde die Öffentlichkeit für eine solche Modernisierung gewonnen, als es 1957 den Russen gelang, ihren Sputnik auf die Umlaufbahn um die Erde zu bringen. Nach diesem Raumfahrtserfolg empfand man eine dringende Notwendigkeit, mehr und bessere Wissenschaftler auszubilden, und da die Naturwissenschaft auf der Mathematik beruht, vertrat man den Standpunkt, daß ein besserer Mathematikunterricht erforderlich sei. Die Modernisierung des Mathematikunterrichts hatte auf den höheren Schulen bereits in einem gewissen Umfang begonnen. Doch jetzt wollte man auch den Mathematikunterricht der Grundschulen modernisieren.
Der Zweck des neuen Mathematikunterrichts besteht darin, den Kindern ein gutes Verständnis des Aufbaus und der Beziehungen der Zahlen zueinander zu vermitteln. Man will dem Schüler helfen, zu verstehen, wie die Zahlensysteme aufgebaut sind, und die Gesetze zu begreifen, denen sie unterliegen. Der neue Mathematikunterricht will somit nicht Regeln vorschreiben und Nachdruck auf den mechanischen Gebrauch dieser Regeln legen, sondern zu dem Ursprung der Regeln zurückgehen, um zu zeigen, daß sie begründet sind.
Der neue Mathematikunterricht vermittelt dem Kind auch schon früh schwierige Begriffe der Mathematik. Er zeigt die Beziehung zwischen den verschiedenen Zweigen der Mathematik, wie z. B. zwischen Algebra und Geometrie, anstatt diese Fächer getrennt zu behandeln.
Man könnte den neuen Mathematikunterricht mit einem Kochkurs vergleichen, in dem man sich bemüht, den Schülern nicht nur beizubringen, wie man nach einem Rezept kocht, sondern ihnen auch hilft, die Eigenschaften der verschiedenen Zutaten kennenzulernen und ihre Wirkung, wenn sie mit anderen Zutaten gemischt werden. Der Schüler lernt somit nicht nur, ein bestimmtes Gericht zuzubereiten, sondern auch warum es zu diesem Endergebnis kommt. Auf diese Weise wird ihm geholfen, einen besseren Allgemeinbegriff vom Kochen zu erhalten, und man hofft, daß er deshalb dann auch ein besserer Koch wird.
Ähnlich ist es mit der neuen Mathematik: Man hofft, wenn man den Schülern hilft, den Grund für die Regeln zu erkennen, und sie schon früh mit den Begriffen der höheren Mathematik bekannt macht, daß sie besser ausgerüstet sind, Aufgaben zu lösen und dem Unterricht in höherer Mathematik leichter zu folgen.
Anordnung der Ziffern
Es gibt verschiedene Methoden des neuen Mathematikunterrichts. Der Unterricht mag in den einzelnen Schulen recht verschieden sein. Aber meistens zielt er darauf ab, den Kindern beizubringen, warum die Ziffern in dieser oder jener Weise angeordnet sind. Das mag einfach erscheinen, aber in Wirklichkeit ist diese Kunst das Ergebnis einer jahrhundertelangen Entwicklung.
Würde man zum Beispiel jemand fragen, der unser heutiges Zahlensystem nicht kennt, wieviel 155 weniger 5 sei, würde er wahrscheinlich antworten: 15. Das darf dich nicht überraschen, auch darfst du den Betreffenden nicht für unwissend halten, denn überlege einmal: Wenn man von 155 fünf wegnimmt, sieht es dann in Wirklichkeit nicht so aus, als ergebe das 15?
Sagst du, das ergebe doch 150? Woher aber hast du die Null? Warum hast du aus einer 5 eine 0 gemacht? Könnte 15 eigentlich nicht die richtige Antwort sein? Die neue Mathematik ist bestrebt, solche grundlegenden Fragen zu beantworten, so daß die Kinder wirklich begreifen, worum es geht, und nicht einfach nach dem Diktat von Regeln antworten.
Hätte man die obige Aufgabe einem Ägypter der alten Zeit gestellt, hätte er wahrscheinlich geantwortet, das ergäbe 15. Und er würde bestimmt darauf bestehen, daß diese Antwort richtig sei. Weißt du warum? Weil die Ägypter und andere alte Völker verschiedene Zahlensysteme verwandten. Wenn sie eine Ziffer, das heißt ein Zeichen, das eine Zahl darstellt, von einer Reihe von Ziffern wegnahmen, war die neue Summe lediglich das Total der übriggebliebenen Ziffern. Die Summe hing nicht von der Anordnung ab, in der die Ziffern erschienen; die Ziffern behielten ihren Wert, ganz gleich, an welcher Stelle sie sich befanden.
Aber heute ist das nicht mehr so. Denn 155 ist nicht die gleiche Summe wie 551. Warum hat die Ziffer 5 je nach ihrer Stellung innerhalb der Zahl einen anderen Wert? Weil wir heute ein anderes Zahlensystem haben als die alten Ägypter, Griechen und anderen alten Völker. Es ist ein System, das schon alt ist und bei dem der Wert einer Ziffer von ihrer Stellung innerhalb der Zahl abhängt. Die neue Mathematik führt den Kindern vor Augen, wie dieses Stellenwertsystem (Positionssystem) funktioniert.
Das Dezimalsystem
Heute wird in den meisten Ländern der Welt das Dezimalsystem benutzt. Dabei werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 verwendet. Bei diesem System hat jede Ziffer innerhalb der Zahl einen zehnmal größeren Wert als die gleiche Ziffer, die die Stelle rechts davon einnimmt. Die Ziffer der ersten Stelle stellt die Zahl als Einer dar. Die Ziffer 5 würde somit für die Zahl 5 stehen. Aber wenn man die Ziffer 5 eine Stelle nach links verrückt, stellt sie 5 Zehner dar, verrückt man sie zwei Stellen nach links, 5 Hunderter, drei Stellen nach links, 5 Tausender, usw.
Der neue Mathematikunterricht ist bestrebt, den Kindern den Wert der Ziffern entsprechend ihrer Position vor Augen zu führen. Die Schüler werden daher gelehrt, wie folgt zu addieren:
5 555 = 5 000 + 500 + 50 + 5
2 222 = 2 000 + 200 + 20 + 2
7 000 + 700 + 70 + 7 = 7 777
Und sie lernen, folgendermaßen zu subtrahieren:
346 = 300 + 40 + 6 = 300 + 30 + 16
239 = 200 + 30 + 9 = 200 + 30 + 9
100 + 00 + 7 = 107
Verschiedene Zahlensysteme
Das Dezimalsystem ist ein Zahlensystem mit der Grundzahl 10. Aber es gibt auch Zahlensysteme mit anderen Grundzahlen. Die Babylonier benutzten zum Beispiel das Sexagesimalsystem, das ist ein Zahlensystem mit der Grundzahl 60, und die Maya das Zwanzigersystem. Unsere Computer arbeiten nach dem Zweiersystem oder Dualsystem. Der neue Mathematikunterricht macht schon in den unteren Stufen die Schüler mit verschiedenen Zahlensystemen bekannt. Man will damit den Kindern helfen, ein besseres Verständnis des bekannten Dezimalsystems zu erlangen und der Arithmetik im allgemeinen.
Das Fünfersystem ist wahrscheinlich am leichtesten zu lernen. Man kann es daher schon Schülern der vierten und fünften Klasse beibringen. Bei diesem System werden nur die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 benutzt, und jede Ziffer innerhalb einer Zahl wird fünfmal mehr wert wenn sie um eine Stelle weiter nach links gerückt wird. Bei der Zahl 324 steht die erste Ziffer für ihren eigenen Wert, der 4 beträgt. Die zweite Ziffer bedeutet nicht 2 Zehner wie beim Dezimalsystem, sondern 2 Fünfer. Und die dritte Ziffer stellt nicht 3 Hunderter, sondern 3 Fünfundzwanziger dar. Die Zahl 324 im Zehnersystem stellt somit im Fünfersystem die Zahl 89 dar!
Diesem Muster wird bei jedem Zahlensystem gefolgt. Beim System mit der Grundzahl 6 hat jede Ziffer innerhalb einer Zahl den sechsfachen Wert der gleichen Ziffer, die die Stelle unmittelbar rechts davon einnimmt. Und beim Achtersystem hat jede Ziffer einen achtfachen Wert der gleichen Ziffer, die die Stelle rechts davon einnimmt. Beachte den Wert der Zahl 324 nach den unten angegebenen Zahlensystemen im Vergleich zu ihrem Wert im Dezimalsystem.
324 im Fünfersystem = 75 + 10 + 4 oder 89
324 im Sechsersystem = 108 + 12 + 4 oder 124
324 im Achtersystem = 192 + 16 + 4 oder 212
Verstehst du nun, warum dein Kind ganz richtig schreibt: 1 + 1 = 10? Im Zweiersystem beträgt 1 + 1 gleich 10, weil die 0 keinen Wert hat und die 1, die eine Stelle links von der 0 steht, nicht wie beim Zehnersystem 10, sondern nur zwei darstellt! Beim Zweiersystem benutzt man nur zwei Ziffern, 0 und 1. Und die Ziffer innerhalb einer Zahl hat einen zweifachen Wert der gleichen Ziffer, die eine Stelle weiter rechts davon einnimmt. Verstehst du also, warum 111 im Zweiersystem im Dezimalsystem 7 ergibt und warum 1111 im Dezimalsystem 15 beträgt? Kannst du die Zahl 1010 vom Zweiersystem in das Zehnersystem umrechnen?
„Aber wieso ist 8 + 6 = 2?“ magst du fragen. „Wieso hat das Kind recht, wenn es so antwortet?“ Es ist die richtige Antwort gemäß dem „modulo 12“-System, das wir von dem Zifferblatt der Uhr her kennen.
Dieses System wird benutzt, um Vorgänge zu beschreiben, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Ein Zyklus, der sich in Millionen von Wohnungen zweimal täglich wiederholt, ist die Bewegung der Zeiger einer Uhr über die Ziffern, die die Tagesstunden darstellen. Eine charakteristische Aufgabe, die im neuen Mathematikunterricht vielfach Schülern der fünften oder sechsten Klasse gestellt wird, lautet: „Wenn es jetzt acht Uhr ist, wieviel Uhr wird es dann in sechs Stunden sein?“ Die Antwort ist: 2 Uhr, wobei nicht berücksichtigt wird, ob es Vormittag oder Nachmittag ist. 8 + 6 ergibt somit 2!
Auf diese Weise werden die Schüler mit Begriffen vertraut gemacht, denen sie später in komplizierterer Form wieder begegnen. Dieses arithmetische System wird zum Beispiel benutzt, um durch mathematische Begriffe zu erklären, wie elektrische Generatoren und Benzinmotoren funktionieren. Für manche Berufe ist die Beherrschung dieses Systems unerläßlich.
Der Begriff „Menge“
Der neue Mathematikunterricht ist auf dem Rechnen mit „Mengen“, das in jeder Klasse gelehrt wird, aufgebaut. Der Begriff „Menge“ ist heute so vorherrschend, daß die modernsten Schriften von Mathematikern davon durchsetzt sind, und doch kann er benutzt werden, um kleinen Kindern arithmetische Prinzipien beizubringen.
Schon im Kindergartenalter kann man Kindern Bilder zeigen, auf denen Gruppen von drei Vögeln, zwei Ballons, drei Äpfeln, zwei Jungen, drei Fahrrädern und vier Zuckerstangen zu sehen sind, und man kann die Kinder auffordern, jede Dreiergruppe einzukreisen. So lernt das Kind begreifen, daß eine Zahl die gemeinsame Eigenschaft dieser Gruppe ist. Als nächstes kann das Kind dann den Zahlenbegriff, in Ziffern ausgedrückt, verstehen lernen.
Dadurch, daß das Kind verstehen lernt, wie Mengen einander zugeordnet werden, wird es mit Elementen der Arithmetik, Algebra und Geometrie vertraut. Man hofft, daß es auf diese Weise auf die höhere Mathematik vorbereitet wird, mit der es später zu tun haben wird.
Für und gegen die neue Mathematik
Viele Erzieher sind begeistert von den neuen Rechenprogrammen. Sie sind der Meinung, die Schüler würden auf diese Weise viel schneller lernen. Professor David A. Page, der eine neue Mathematik für die Grundschule herausgab, behauptete: „Ich kann jetzt Schülern im dritten und vierten Schuljahr in einer Stunde mehr über mathematische Operationen beibringen als früher Studenten des ersten und zweiten Semesters in zwei Wochen.“
Aber nicht alle sind von dem neuen Mathematikunterricht so begeistert. Nicht nur Eltern, die darob verwirrt sind, klagen, sondern auch viele Lehrer sind dadurch in Verlegenheit geraten. Professor Robert Wirtz berichtete, nachdem er mehr als hundert Grundschulen in den Vereinigten Staaten besucht hatte: „Ich stellte fest, daß die Lehrer vor der neuen Mathematik Angst haben. Sie verstehen sie nicht oder begreifen nicht, warum sie sie lehren sollten.“
Auch manche Mathematiker, sogar einige, die beim Ausarbeiten der neuen Programme mitgeholfen haben, sind alles andere als zufrieden. Nach ihrer Auffassung sind einige der Programme zu anspruchsvoll, zu abstrakt, und legen nicht genügend Wert auf die Anwendung im praktischen Leben. Max Beberman, einer der größten Pioniere der Reform, befürchtet, daß durch den modernen Mathematikunterricht eine „Generation herangezogen wird, die nicht richtig rechnen kann“.
Die neuen Rechenprogramme sind somit unzulänglich. Vielleicht hat man sich durch das Bedürfnis, auf dem Gebiet der Raumfahrt mit den Russen Schritt zu halten, verleiten lassen, die Programme auf leistungsstarke Schüler abzustimmen, und dabei die Bedürfnisse der leistungsschwachen mißachtet. Eine weitere Unzulänglichkeit ist der Mangel an Lehrern, die die neue Mathematik so beherrschen, daß sie sie lehren können. Ein nicht unbedeutender Nachteil des neuen Rechenprogramms ist auch der Umstand, daß es zur Entstehung des Generationenkonflikts in vielen Familien beiträgt, indem dadurch Eltern und Kinder einander entfremdet werden. Obschon eine Reform der bisherigen Rechenprogramme offensichtlich erforderlich war, ist es doch fraglich, ob alles, was man geändert hat, zu begrüßen ist.