Las “nuevas matemáticas” y su hijo
A ALGUNOS padres con frecuencia les parecen desconcertantes las “nuevas matemáticas,” especialmente cuando su hijo obtiene la mejor calificación por escribir 1 + 1 = 10 u 8 + 6 = 2. ¡Con razón se oyó que una madre exclamó: “¡Esto yo no lo entiendo!” cuando vio la tarea que su hijo de quinto año de primaria había de hacer en casa!
En los Estados Unidos no han sido pocos los padres que se han perturbado intensamente al averiguar que sus hijos usan sistemas matemáticos con los cuales ellos, los padres, no tienen ninguna experiencia. “Antaño,” escribió un padre preocupado, “un niño podía traer su tarea a casa y sus padres la repasaban con él, haciendo correcciones o dándole estímulo. Pero hoy la tarea es tan complicada que ni el niño ni sus padres saben lo que está pasando.”
Hasta los maestros han tenido que ser reeducados. Y en algunos lugares se han establecido cursos nocturnos de “nuevas matemáticas” para los padres. Pero la idea de asistir a ellos no les agrada a todos. Una madre, que había recibido entrenamiento universitario durante dos años, rehusó ir. “¿Sabe usted lo que es, a mi edad, sentirse una inadecuada al tratar temas del segundo año de primaria?” preguntó. Otro padre se quejó: “Esta tontería está arruinando la relación entre mis hijos y yo. ¡Creen que soy estúpido!”
¿Qué son las “nuevas matemáticas”? ¿Por qué se están enseñando? ¿Realmente son mejores que la manera antigua de enseñar matemáticas?
A qué se deben las “nuevas matemáticas”
La persona de término medio sin duda piensa en las matemáticas como un tema estático, pero está lejos de ser eso. Se calcula que en más o menos los pasados sesenta años se han creado más matemáticas nuevas que en todos los siglos previos combinados. Sin embargo, el contenido de los cursos de matemáticas cambió poco en trescientos años. Una autoridad declaró que hace unos cuantos años hubiera sido posible para un maestro de matemáticas del siglo diecisiete entrar en una clase de matemáticas y empezar a enseñar sin dificultad alguna. Pero un maestro de historia, ciencia o lenguaje no podría hacer eso, puesto que el contenido de estos cursos había cambiado radicalmente. Por eso, por mucho tiempo los educadores habían sentido la necesidad de modernizar los cursos de matemáticas.
En los Estados Unidos se suministró apoyo público para esos cambios cuando Rusia lanzó con buen éxito su Sputnik en 1957. Después de ese asombroso logro espacial se sintió una necesidad urgente de más y mejores científicos, y, puesto que la ciencia depende de las matemáticas, de mejorar los cursos de matemáticas. La reforma a la enseñanza de las matemáticas ya había comenzado a grado limitado en las escuelas de enseñanza superior. Ahora cobró ímpetu, introduciéndose también en las escuelas primarias.
El propósito de los cursos de las “nuevas matemáticas” es dar a los niños un entendimiento seguro de la estructura y relación de los números unos con otros. Tienen la mira de ayudar a los estudiantes a entender la manera en que se forman los sistemas numéricos y las leyes que gobiernan su comportamiento. Por eso, en vez de simplemente prescribir reglas y dar énfasis a ejercicios para aplicarlas, las “nuevas matemáticas” se esfuerzan por regresar a las fuentes de las reglas para mostrar que son válidas.
Las “nuevas matemáticas” también presentan desde temprano a los niños conceptos matemáticos avanzados. Muestran la relación recíproca entre los diversos ramos de las matemáticas, como álgebra y geometría.
Se pudieran comparar las “nuevas matemáticas” a un curso de cocina en el cual no solo se hace un esfuerzo para suministrar práctica en seguir los pasos prescritos de una receta, sino también para ayudar al estudiante a entender las propiedades de los diversos ingredientes y su efecto cuando se combinan con otros ingredientes. De modo que el estudiante no solo aprende a preparar un platillo en particular, sino que también aprende por qué el producto final sale como sale. Así se le ayuda al estudiante a obtener un mejor cuadro general del arte culinario, y por eso se espera que sea mejor cocinero.
De modo semejante, al ayudar a los jóvenes estudiantes de matemáticas a ver la razón que hay tras las reglas y darles a conocer desde temprano conceptos avanzados, se espera que estén mejor equipados para hallar soluciones a los problemas y seguir cursos superiores.
No todos los cursos de las “nuevas matemáticas” son iguales. Puede haber considerable variedad en ellos de una escuela a la siguiente. Pero como regla los cursos tratan de enseñar a los niños por qué se juntan las cifras de la manera que se hace. Esto quizás parezca bastante sencillo, pero realmente es un desenvolvimiento ingenioso que tomó siglos.
Por ejemplo, si usted pudiera preguntarle a alguien que no conociera nuestro sistema numérico de la actualidad qué quedaría si de 155 se quitara 5, probablemente diría 15. No se sorprenda, ni piense que la persona sería ignorante. Pues considere: ¿No parece en realidad que si uno quita 5 de 155 solo queda 15?
¿Dice usted que la respuesta debería ser 150? Pero, ¿de dónde sacó el 0? ¿Por qué convirtió uno de los cincos en cero? ¿Pudiera ser realmente 15 la respuesta correcta? Las “nuevas matemáticas” se esfuerzan por contestar esas preguntas básicas para que los niños verdaderamente entiendan, y no solo den respuestas de acuerdo con los dictados de las reglas.
Si estuviera aquí un egipcio antiguo es probable que diera la respuesta 15 al problema que acabamos de considerar. Y sin duda aseveraría vigorosamente que tenía razón. ¿Sabe por qué? Porque los egipcios y otros pueblos antiguos usaban un sistema numérico diferente. Si quitaban una cifra (es decir, un símbolo que representaba una cifra) de una serie de cifras, la nueva suma simplemente sería el total de las cifras que quedaran. La suma no dependía del orden en que se colocaban las cifras; las cifras guardaban su valor respectivo sin importar su posición.
Pero esto no aplica hoy, ¿verdad? Porque 155 no es lo mismo que 551. ¿Por qué tienen los cincos un valor diferente que dependa de su posición? Porque hoy tenemos un sistema numérico diferente del de los antiguos egipcios, griegos y otros pueblos. Es un sistema, creado hace mucho, en el cual las cifras tienen diferentes valores, dependiendo de su posición. Las “nuevas matemáticas” graban en los niños la manera en que obra este sistema del valor según su colocación.
Sistema numérico decimal
Hoy el sistema numérico decimal se utiliza en la mayor parte del mundo. Es un sistema que utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En este sistema cada posición tiene un valor diez veces mayor que la posición a su derecha. La cifra que se encuentra en la primera posición representa una cifra igual a sí misma. De modo que la cifra 5 representa al número 5. Pero si el 5 se encuentra un lugar a la izquierda de la primera posición, representa 5 decenas; si está dos posiciones a la izquierda, 5 centenas; tres posiciones a la izquierda 5 millares, etc.
Los cursos de las “nuevas matemáticas” se proponen demostrarles a los niños el valor de las cifras según su posición. En consecuencia, a los estudiantes quizás se les enseñe a sumar de este modo:
5.555 = 5.000 + 500 + 50 + 5
2.222 = 2.000 + 200 + 20 + 2
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7.000 + 700 + 70 + 7 = 7.777
Y pueden aprender a restar de modo parecido a éste:
346 = 300 + 40 + 6 = 300 + 30 + 16
239 = 200 + 30 + 9 = 200 + 30 + 9
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100 + 00 + 7 = 107
Diferentes sistemas numéricos
Sistema decimal se llama al sistema numérico que tiene como base el diez. Pero puede utilizarse otra base numérica. Los babilonios usaban un complejo sistema que tenía como base el sesenta y los mayas de Yucatán calculaban con base de veinte. Hoy las computadoras usan el sistema que tiene como base el dos. Los cursos de las “nuevas matemáticas” familiarizan a los niñitos con diferentes sistemas numéricos. El propósito de esto es ayudarles a obtener un mejor entendimiento del sistema decimal conocido, y de la aritmética en general.
Quizás el sistema que tiene como base el cinco sea el más fácil de aprender, y puede enseñársele a su niño de cuarto o quinto año de primaria. En este sistema, que solo usa las cifras 0, 1, 2, 3, 4, cada posición tiene un valor cinco veces mayor que la posición a la derecha. Por lo tanto, en el número 324, la primera cifra se representa a sí misma, o 4. La segunda cifra, en vez de representar 2 decenas como en el sistema decimal, representa 2 cincos. Y la tercera cifra, en vez de representar 3 centenas, representa 3 veinticincos. ¡De modo que 324 en el sistema numérico que tiene como base el cinco realmente es 89 en el sistema que tiene como base el diez!
Este mismo modelo se sigue en todo sistema numérico. Así, en el sistema que tiene como base el seis cada posición tiene un valor seis veces mayor que la posición a la derecha. Y en el sistema que tiene como base el ocho cada posición tiene un valor ocho veces mayor que la posición a la derecha. Note el valor de 324 en los sistemas numéricos de abajo en comparación con su valor en el sistema decimal.
324 con base de cinco = 75 + 10 + 4 u 89
324 con base de seis = 108 + 12 + 4 ó 124
324 con base de ocho = 192 + 16 + 4 ó 212
Ahora, ¿ve usted por qué su hijo puede obtener la mejor calificación por escribir 1 + 1 = 10? En el sistema que tiene como base el dos el resultado de 1 + 1 puede escribirse como 10, porque el 0 no equivale a nada y el uno que está una posición a la izquierda del 0 representa, no diez como sería en el sistema decimal, ¡sino solo dos! El sistema que usa como base el dos sólo usa las dos cifras 0 y 1. Y cada posición tiene un valor dos veces mayor que la posición a la derecha. De modo que, ¿ve usted por qué 111 en el sistema numérico que tiene como base el dos equivale a 7 en el sistema decimal? ¿Y por qué 1111 equivale a 15? ¿Puede usted determinar a qué equivale 1010 en el sistema que tiene como base el dos en el sistema decimal?
“Pero, ¿cómo puede 8 + 6 = 2?” quizás pregunte usted. “¿Cómo puede estar en lo correcto un niño al dar esta respuesta?” Esa es la respuesta correcta en el sistema que tiene como módulo el doce.
La aritmética modular se utiliza para describir sucesos que acontecen en ciclos regulares. Un ciclo común que sucede dos veces al día en millones de hogares es el paso de las manecillas de un reloj por encima de las cifras que representan las horas del día. Un problema típico de las “nuevas matemáticas,” quizás para estudiantes de primaria de quinto o sexto año, es: “Si ahora son las ocho en punto, ¿qué hora será en seis horas?” La respuesta, sin importar que sea a.m. o p.m., es las dos en punto. ¡De modo que 8 + 6 equivale a 2!
Así se inicia a los estudiantes de las “nuevas matemáticas” en conceptos que pueden hallarse en mayores complejidades más tarde. La aritmética modular se utiliza para describir el funcionamiento de los generadores eléctricos y los motores de gasolina en términos matemáticos.
Concepto de conjunto
En el fondo de muchos cursos de las “nuevas matemáticas” está el concepto de conjunto, que se enseña en todo año de la escuela primaria. Es un concepto tan sumamente predominante que está difundido en los escritos avanzados, y no obstante se puede usar para enseñar los principios de la aritmética a los niños.
Por ejemplo, a un niño de escuela de párvulos se le puede enseñar un cuadro que tenga conjuntos de 3 pájaros, 2 globos, 3 manzanas, 2 muchachos, 3 bicicletas y 4 caramelos para chupar, y se le puede pedir que ponga un círculo alrededor de cada conjunto que tenga 3 objetos. Así el niño aprende la idea de un número como la propiedad común de estos conjuntos. Luego el niño puede adelantar a entender la idea de los números según se expresan como cifras.
Al familiarizarse con la manera en que operan los conjuntos, los niños aprenden elementos comunes a la aritmética, el álgebra y la geometría.
Muchos educadores están entusiasmados con los programas de las “nuevas matemáticas.” Les parece que los estudiantes aprenden mucho más aprisa. El profesor David A. Page, que redactó un nuevo programa de matemáticas elementales, aseveró: “Ahora, en una hora puedo enseñar a estudiantes de primaria de tercer o cuarto años más acerca de las funciones matemáticas de lo que podía enseñar a estudiantes de primer año de enseñanza de universidad en dos semanas.”
Pero de ninguna manera comparten todos los maestros este entusiasmo por las “nuevas matemáticas.” Además de las resonantes quejas que se oyen de los padres desorientados, muchos maestros también están perplejos. El profesor Robert Wirtz, después de visitar más de cien escuelas elementales de los Estados Unidos, declaró: “Hallé que los maestros están atemorizados. No entienden las nuevas matemáticas ni por qué se espera que las enseñen.”
Muchos matemáticos, también, están lejos de haber quedado satisfechos, entre ellos personas que trabajaron en nuevos programas. Les parece que algunos de los programas son demasiado complicados, demasiado abstractos, y que no dan suficiente énfasis a la aplicación a la vida cotidiana. Uno de los principales precursores de la reforma, Max Beberman, expresó temores de que las matemáticas modernas quizás estén “criando una generación de muchachitos que no pueden efectuar aritmética de calculación.”
De modo que los programas de las “nuevas matemáticas” sí tienen sus faltas. Quizás fue la sensación de urgencia de mantenerse al día con los logros espaciales soviéticos lo que resultó en implantar muchos programas al nivel de los estudiantes con aptitud a las matemáticas, desatendiendo las necesidades educativas de otros. También, la falta de maestros que entiendan los nuevos conceptos suficientemente bien para enseñarlos ha sido otra dificultad. Y no ha de minimizarse la manera en que las “nuevas matemáticas” han contribuido a la brecha entre generaciones en muchos hogares. Por eso, aunque obviamente se necesitaban mejoras en los programas de las matemáticas, queda en tela de juicio el que todos los cambios que se han hecho hayan sido los mejores.